Henviser til open access link til artikkelen i The Mathematical Intelligencer/Springer Nature (gratis):
Geometric Construction of Pythagorean and Just Musical Scales and Commas | SpringerLink
eller
Geometric Construction of Pythagorean and Just Musical Scales and Commas | Springer (PDF)
Essensen i artikkelen bygger på enkel matematikk og geometri. Det skulle være greit å følge oppskriften på den musikalske geometriseringen. Her er det stort sett multiplisering og dividering som gjelder. Supplementet i slutten av artikkelen kan man kun skumlese da det kan være for spesielt interesserte.
Artikkelen har et utgangspunkt i grunntonen C i en C-durskala: CDEFGAHC. Men noe som kan være forvirrende for nordmenn er at norsk H-tone tilsvarer engelsk B-tone. Og norsk B-tone er en halvtone under norsk H-tone. Det er upraktisk at vi ikke alle følger det engelske tonesystemet der de rette tonenavnene kommer frem, spesielt i den rene A-mollskalaen: ABCDEFGA! Og A-moll ligger en halvannen tone under som moll-parallell til C-dur: CDEFGABC (se Fig. 2). Da ser man tydelig at alle de engelske heltonene følger alfabetet.
Fra grunnskolen husker vi Pytagoras sin læresetning i geometrien som beskriver forholdet mellom sidene i en rettvinklet (90º) trekant: Kvadratet på hypotenusen (den lengste siden) er lik summen av kvadratene på de to katetene. Hvis katetenes lengder er a og b og hypotenusen har lengde c, kan dette uttrykkes: a²+b²=c². Hvis vi med den 30◦–60◦–90◦ trekanten i artikkelen kaller sidene C2-C2‘ for a, O-C2‘ for b og O-C2 for c, kan man selvsagt bruke den pytagoreiseke læresetningen. Men akkurat denne trekanten er meget spesiell da hypotenusen er dobbelt så lang som den minste kateten. Derfor vil denne 30◦–60◦–90◦ trekanten generelt inneha følgende forhold: a=½·c, c=2·a, b=√3·a og b=√¾·c.
Disse spesielle forholdene er underliggende for at geometriseringen av toneskalaene og kommaene kunne la seg gjøre; man skulle bare ha visst at denne enkle 30◦–60◦–90◦ trekanten bar kimen til musikalske grunnelementer. Det har gått mange år siden den første oppdagelsen i 1982 og forskningen har tatt sin tid. Artikkelen i TMIN innunder et av verdens største forlag, Springer Nature, gir meg for første gang internasjonal, akademisk anerkjennelse for ideene og oppdagelsene, med meget god hjelp av professor i fysikk ved Universitet i Oslo, Sverre Holm, og dr. ing. Alv I. Aarskog.
I artikkelen er den 30◦–60◦–90◦ rettvinklede trekanten faktisk «kokt ned» iht. min opprinnelige forskning på regulære sekskanter og sirkler til den minste mulige figur for å følge geometriseringen av toneskalaene og kommaene. Legger man til speilbildet av denne trekantfiguren med den største kateten som skillelinje, får man en likesidet trekant med 60◦ i alle vinklene. Man kan så legge til en omvendt likesidet trekant og dermed få frem en regulær heksagon (sekskant) inni et regulært heksagram (sekstagget stjernefigur). Se Fig. 7 i tillegget Significant original text and figures not included in the article in The Mathematical Intelligencer på hjemmesiden her.
Dette er nært beslektet med noe spesielt som også forbindes med Pytagoras; han er kjent for uttalelsen «alt er tall». En sentral figur knyttet til denne uttalelsen kalles det dekadiske tetraktys (deka = 10, tetra = 4). Tetraktys er en trekantet figur med ti punkter fordelt på fire rader (se Fig. 8 i det samme tillegget). Fra toppen har radene henholdsvis ett punkt, to, tre og fire punkter. Den mest åpenbare forbindelsen mellom tetraktys og musikktonene er tilstedeværelsen av forholdet mellom radene, som tilsvarer kvart-tonen (4:3), kvinten (3:2), og oktaven (2:1). Disse tonene er grunnleggende for både den pytagoreiske og renstemte toneskalaen (sammenlign dette med både Fig. 1 og Fig. 7). Det er meget interessant at alle de ti punktene i tetraktys påvises autentisk i figur 7 i tillegget vårt! Legg også merke til at seks av de ti krysningspunktene (merket med tykke punkter) også er sentrale for konstruksjonen av toneskalaene iht. selve artikkelen. Og merk at ett av disse seks tetraktys-punktene samsvarer med det viktige K-punktet i fig. 5, som markerer at den renstemte A-tonen (AJ) ligger geometrisk midt i mellom F-tonen og C2-tonen på frekvensaksen, vinkelrett nedenfor K-punktet. Man kan ikke unngå å lure på om Pytagoras eller pytagoreerne kan ha sett en dypere forbindelse mellom tetraktys og disse geometriske konstruksjonene. Kanskje er geometriseringen av toneskalaene en re-oppdagelse av gammel (gresk) viten?
Ved å trekke nye linjer mellom alle vinkelhjørnene på de seks stjernetaggene får man videre en ytre regulær sekskant. Slår man en sirkel som tangerer disse seks ytre sekskanthjørnene med passernålen i sentrum (F’), viser det seg at hver av sekskantens sider er lik radius til den omskrevne sirkel. Ja, dette er meget spesielt; av alle mulige regulære mangekanter er det kun den regulære sekskanten som har denne egenskapen! Alle de regulære mangekanter med færre sider enn denne (tre-fir-femkant), har lengre sidelengder enn sin omskrevne sirkel, mens alle de regulære mangekantene med flere sider (feks. en regulær tolvkant) har kortere sidelengder. Kanskje denne unike egenskapen er årsaken til at naturen selv ofte finner at sekskantformen er den mest energimessig besparende av alle former, noe man feks. kan studere i bikuber.
Så dette er egentlig bare begynnelsen da artikkelen danner grunnlaget for ytterligere formidling av flere universelle temaer. Jeg har også spennende bidrag innenfor kvantefysikk, kosmologi og astrofysikk som etter hvert skal publiseres fortløpende her på denne hjemmesiden.